Семинар 5

Задание 1.

Построить матрицу переходов для своего варианта. 

1. Сигнал Wi‑Fi (4 уровня)

Сигнал точки доступа каждый день может быть в одном из четырёх состояний: Отличный (О), Средний (С), Слабый (Сл), Отсутствует (От). Если сигнал отличный, то с вероятностью 0,6 он остаётся отличным на следующий день; с вероятностью 0,2 становится средним; с вероятностью 0,1 — слабым; с вероятностью 0,1 — отсутствует. Если сигнал средний, то с вероятностью 0,5 он остаётся средним, а в случае изменения переходит: в отличный — вдвое чаще, чем в слабый, и в три раза чаще, чем в отсутствие (распределение вероятностей изменения пропорционально этим коэффициентам). Если сигнал слабый, то он не может сразу перейти в отличный: с вероятностью 0,3 остаётся слабым, с вероятностью 0,4 становится средним, с вероятностью 0,3 — отсутствует. Если сигнал отсутствует, то на следующий день с вероятностью 0,2 он всё ещё отсутствует, с вероятностью 0,5 становится слабым, с вероятностью 0,2 — средним, с вероятностью 0,1 — отличным.

2. Режимы умного холодильника (4 режима)

Холодильник работает в одном из четырёх режимов: Обычный (О), Энергосбережение (Э), Суперохлаждение (Су), Разморозка (Р). После дня разморозки на следующий день он всегда переходит в обычный режим. Если холодильник в обычном режиме, то с вероятностью 0,7 остаётся в нём, а с вероятностью 0,1 переходит в каждый из трёх других режимов. Если холодильник в энергосбережении, то он не может сразу перейти в разморозку: с вероятностью 0,5 остаётся в энергосбережении, с вероятностью 0,3 переходит в обычный режим, с вероятностью 0,2 — в суперохлаждение. Если холодильник в суперохлаждении, то с вероятностью 0,4 остаётся в нём, а в случае изменения переходит: в обычный режим — в 2 раза чаще, чем в энергосбережение, и в 3 раза чаще, чем в разморозку (вероятности изменения распределяются пропорционально этим коэффициентам).

3. Настроение художника (4 состояния)

Художник перед работой может находиться в одном из четырёх состояний: Вдохновлён (В), Сомневается (С), Уставший (У), В ярости (Я). После дня сомнений никогда не бывает двух дней сомнений подряд: если сегодня он сомневается, то завтра с вероятностью 0,4 будет вдохновлён, с вероятностью 0,3 — уставший, с вероятностью 0,3 — в ярости. Если художник вдохновлён, то с вероятностью 0,5 остаётся вдохновлённым, а в случае изменения переходит: в сомнения — в 2 раза чаще, чем в уставшего, и в 3 раза чаще, чем в ярость. Если художник уставший, то с вероятностью 0,4 остаётся уставшим, а при изменении с равной вероятностью переходит в любое из трёх других состояний. Если художник в ярости, то с вероятностью 0,6 остаётся в ярости, а в случае изменения переходит только в сомнения или в уставшего с соотношением вероятностей 3:1.

4. Лиса в лесу (4 зоны)

Лиса каждый вечер находится в одной из четырёх зон: Нора (Н), Охота (О), Водопой (В), Игра (И). После дня игры на следующий день она всегда возвращается в нору. Если лиса в норе, то с вероятностью 0,5 отправляется на охоту, с вероятностью 0,3 — на водопой, с вероятностью 0,2 — играть. Если лиса на охоте, то с вероятностью 0,4 остаётся на охоте, с вероятностью 0,3 возвращается в нору, с вероятностью 0,2 идёт на водопой, с вероятностью 0,1 играет. Если лиса на водопое, то с вероятностью 0,6 остаётся там, а в противном случае с равной вероятностью переходит в любую из трёх других зон.

5. Облачность (4 типа)

Облачность может быть одного из четырёх типов: Безоблачно (Б), Кучевые облака (К), Грозовые облака (Г), Туман (Т). После дня с туманом на следующий день всегда наблюдается кучевая облачность. Если день безоблачный, то с вероятностью 0,7 он остаётся безоблачным, с вероятностью 0,2 переходит в кучевые облака, с вероятностью 0,1 — в грозовые облака. Если день с кучевыми облаками, то с вероятностью 0,5 облачность не меняется, а в случае изменения переходит: в безоблачно — в 2 раза чаще, чем в грозовые облака, и в 3 раза чаще, чем в туман. Если день с грозовыми облаками, то с вероятностью 0,6 они остаются, а при изменении переходит только в кучевые облака или туман с соотношением вероятностей 3:1.

6. Заряд телефона (4 уровня)

Уровень заряда телефона в конце дня может быть: Полный (П), Высокий (В), Средний (С), Разряжен (Р). Если заряд полный, то с вероятностью 0,8 он остаётся полным на следующий день, а иначе с равной вероятностью становится высоким, средним или разряженным. Если заряд высокий, то с вероятностью 0,6 остаётся высоким, а при изменении переходит: в полный — в 2 раза чаще, чем в средний, и в 3 раза чаще, чем в разряженный. Если заряд средний, то с вероятностью 0,4 остаётся средним, а в случае изменения с равной вероятностью переходит в любой из трёх других уровней. Если заряд разряжен, то с вероятностью 0,5 остаётся разряженным, с вероятностью 0,3 становится средним, с вероятностью 0,2 — высоким.

7. Трафик на перекрёстке (4 уровня)

Интенсивность трафика на перекрёстке может быть: Пусто (П), Низкая (Н), Средняя (С), Высокая (В). После дня с пустым трафиком на следующий день всегда наблюдается низкая интенсивность. Если трафик низкий, то с вероятностью 0,5 он остаётся низким, с вероятностью 0,3 становится средним, с вероятностью 0,2 — высоким. Если трафик средний, то с вероятностью 0,4 он остаётся средним, а в случае изменения переходит: в высокий — в 2 раза чаще, чем в низкий, и в 3 раза чаще, чем в пустой. Если трафик высокий, то с вероятностью 0,7 он остаётся высоким, а при изменении с равной вероятностью переходит в любой из трёх других уровней.

8. Настроение попугая (4 состояния)

Попугай может находиться в одном из четырёх состояний: Кричит (К), Молчит (М), Поёт (П), Дремлет (Д). Если сегодня попугай молчит, то завтра с вероятностью 0,4 кричит, с вероятностью 0,3 поёт, с вероятностью 0,3 дремлет. Если попугай кричит, то с вероятностью 0,5 продолжает кричать, а в случае изменения переходит: в молчание — в 2 раза чаще, чем в пение, и в 3 раза чаще, чем в дрёму. Если попугай поёт, то с вероятностью 0,6 остаётся петь, а при изменении переходит только в крик или молчание с равной вероятностью. Если попугай дремлет, то с вероятностью 0,7 остаётся в дрёме, а иначе с равной вероятностью переходит в любое из трёх других состояний.

9. Состояние игрового сервера (4 состояния)

Сервер может быть в одном из четырёх состояний: Онлайн (О), Лаги (Л), Техобслуживание (Т), Оффлайн (Ф). Если сервер онлайн, то с вероятностью 0,8 остаётся онлайн, с вероятностью 0,1 появляются лаги, с вероятностью 0,1 начинается техобслуживание. Если сервер испытывает лаги, то с вероятностью 0,5 они продолжаются, с вероятностью 0,3 сервер возвращается в онлайн, с вероятностью 0,1 начинается техобслуживание, с вероятностью 0,1 сервер падает в оффлайн. Если сервер на техобслуживании, то с вероятностью 0,4 оно продолжается, а в случае изменения переходит: в онлайн — в 3 раза чаще, чем в лаги, и в 2 раза чаще, чем в оффлайн. Если сервер оффлайн, то с вероятностью 0,6 остаётся оффлайн, с вероятностью 0,3 возвращается в онлайн, с вероятностью 0,1 переходит в техобслуживание.

10. Тип осадков (4 типа)

Осадки могут быть одного из четырёх типов: Дождь (Д), Снег (С), Град (Г), Туман (Т). После дня с туманом на следующий день всегда идёт дождь. Если идёт дождь, то с вероятностью 0,5 он продолжается, а в случае изменения переходит: в снег — в 2 раза чаще, чем в град, и в 3 раза чаще, чем в туман. Если идёт снег, то с вероятностью 0,6 он продолжается, а при изменении переходит только в дождь или град с соотношением вероятностей 3:1. Если идёт град, то с вероятностью 0,7 он продолжается, а иначе с равной вероятностью переходит в любой из трёх других типов осадков.

11. Режимы умных часов (4 режима)

Часы могут находиться в одном из четырёх режимов: Активен (А), Выключен (В), Энергосбережение (Э), Неисправность (Н). Если часы активны, то с вероятностью 0,7 остаются активными, с вероятностью 0,2 выключаются, с вероятностью 0,1 переходят в энергосбережение. Если часы выключены, то с вероятностью 0,5 остаются выключенными, с вероятностью 0,3 активируются, с вероятностью 0,1 переходят в энергосбережение, с вероятностью 0,1 возникают неисправности. Если часы в энергосбережении, то с вероятностью 0,6 остаются в нём, а в случае изменения переходят: в активный режим — в 2 раза чаще, чем в выключенный, и в 3 раза чаще, чем в неисправность. Если часы неисправны, то с вероятностью 0,8 неисправность сохраняется, а иначе с равной вероятностью переходят в любой из трёх других режимов.

12. Студент перед сессией (4 состояния)

Студент может быть: Учит (У), Паникует (П), Отдыхает (О), Болеет (Б). После дня отдыха на следующий день он всегда учит. Если студент учит, то с вероятностью 0,6 продолжает учить, с вероятностью 0,2 начинает паниковать, с вероятностью 0,1 отдыхает, с вероятностью 0,1 заболевает. Если студент паникует, то с вероятностью 0,5 продолжает паниковать, а в случае изменения переходит: в учёбу — в 3 раза чаще, чем в отдых, и в 2 раза чаще, чем в болезнь. Если студент болеет, то с вероятностью 0,7 продолжает болеть, с вероятностью 0,2 отдыхает, с вероятностью 0,1 возвращается к учёбе.

13. Робот (4 состояния настроения)

Робот может находиться в одном из четырёх состояний: Рабочее (Р), Сон (С), Танцует (Т), Ошибка (О). После дня танцев никогда не бывает двух танцевальных дней подряд: если сегодня робот танцует, то завтра с вероятностью 0,5 работает, с вероятностью 0,3 спит, с вероятностью 0,2 выдаёт ошибку. Если робот в рабочем состоянии, то с вероятностью 0,7 остаётся работать, а в случае изменения переходит: в сон — в 2 раза чаще, чем в танец, и в 3 раза чаще, чем в ошибку. Если робот спит, то с вероятностью 0,6 продолжает спать, а при изменении переходит только в работу или ошибку с равной вероятностью. Если робот в состоянии ошибки, то с вероятностью 0,8 ошибка сохраняется, а иначе с равной вероятностью переходит в любое из трёх других состояний.

14. Цвет листьев (4 цвета)

Листья дерева могут быть: Зелёные (З), Жёлтые (Ж), Красные (К), Коричневые (Ко). После зелёного цвета никогда не бывает снова зелёного на следующий день: с вероятностью 0,4 листья становятся жёлтыми, с вероятностью 0,3 — красными, с вероятностью 0,3 — коричневыми. Если листья жёлтые, то с вероятностью 0,5 остаются жёлтыми, а в случае изменения переходят: в красный — в 2 раза чаще, чем в коричневый, и в 3 раза чаще, чем в зелёный. Если листья красные, то с вероятностью 0,6 остаются красными, а при изменении переходят только в жёлтый или коричневый с равной вероятностью. Если листья коричневые, то с вероятностью 0,9 остаются коричневыми, а иначе с равной вероятностью переходят в любой из трёх других цветов.

15. Заявка в техподдержке (4 статуса)

Статус заявки может быть: В ожидании (О), В работе (Р), На проверке (П), Решена (Рш). Если заявка решена, то на следующий день она всегда переходит в статус ожидания (новая заявка). Если заявка в ожидании, то с вероятностью 0,6 остаётся в ожидании, с вероятностью 0,3 переходит в работу, с вероятностью 0,1 — на проверку. Если заявка в работе, то с вероятностью 0,5 остаётся в работе, с вероятностью 0,2 возвращается в ожидание, с вероятностью 0,2 переходит на проверку, с вероятностью 0,1 решается. Если заявка на проверке, то с вероятностью 0,4 остаётся на проверке, а в случае изменения переходит: в решена — в 3 раза чаще, чем в работу, и в 2 раза чаще, чем в ожидание.

Задание 2

1. Сигнал Wi‑Fi

Для данной цепи Маркова, описывающей качество сигнала, определите:

a) Является ли цепь неприводимой? Обоснуйте, построив граф переходов и проверив связность.

b) Являются ли состояния периодичными или апериодичными? Если периодичны, укажите период.

c) Определите, есть ли поглощающие состояния.

2. Умный холодильник

Используя матрицу переходов для режимов работы холодильника:

a) Проверьте, является ли цепь приводимой. Если да, выделите классы сообщающихся состояний.

b) Определите период для состояния «Разморозка».

c) Есть ли эргодические состояния в этой цепи?

3. Настроение художника

На основе матрицы переходов:

a) Докажите, что цепь неприводима.

b) Определите, является ли цепь периодичной. Если да, найдите общий период.

c) Найдите все возвратные и невозвратные состояния.

4. Лиса в лесу

По матрице перемещений лисы:

a) Постройте граф цепи Маркова и определите, является ли она приводимой.

b) Определите тип состояния «Нора» (возвратное/невозвратное, периодичное/апериодичное).

c) Является ли цепь эргодической (неприводимая + апериодичная + все состояния возвратные ненулевые)?

5. Облачность

Для цепи Маркова с типами облачности:

a) Выясните, есть ли в цепи поглощающие состояния.

b) Определите, является ли состояние «Туман» периодичным, и если да, то с каким периодом.

c) Разбейте цепь на классы эквивалентности (классы сообщающихся состояний).

6. Заряд телефона

По матрице переходов уровней заряда:

a) Определите, сообщаются ли состояния «Полный» и «Разряжен». За сколько шагов?

b) Проверьте, является ли цепь неприводимой и апериодичной.

c) Есть ли нулевые или положительно возвратные состояния?

7. Трафик на перекрёстке

Для данной цепи интенсивности трафика:

a) Найдите все поглощающие состояния, если они есть.

b) Определите периодичность состояния «Пусто».

c) Является ли цепь приводимой? Если да, опишите структуру классов.

8. Настроение попугая

По матрице настроений попугая:

a) Докажите, что все состояния сообщаются.

b) Определите период цепи.

c) Проверьте, является ли цепь возвратной.

9. Игровой сервер

Используя матрицу переходов состояний сервера:

a) Определите, есть ли невозвратные состояния.

b) Найдите период для состояния «Онлайн».

c) Является ли цепь неприводимой и апериодичной?

10. Тип осадков

Для цепи с осадками:

a) Проверьте, является ли состояние «Туман» поглощающим.

b) Определите, периодична ли цепь в целом.

c) Выделите классы сообщающихся состояний и определите их тип (возвратные/невозвратные).

11. Умные часы

По матрице режимов часов:

a) Докажите неприводимость цепи.

b) Определите периодичность состояния «Неисправность».

c) Является ли цепь эргодической?

12. Студент перед сессией

Для цепи Маркова состояний студента:

a) Найдите поглощающие состояния, если они есть.

b) Определите, является ли состояние «Отдыхает» периодичным.

c) Разбейте цепь на классы сообщающихся состояний и укажите их тип.

13. Робот

По матрице настроений робота:

a) Проверьте, все ли состояния возвратные.

b) Определите период для состояния «Танцует».

c) Является ли цепь неприводимой и апериодичной?

14. Цвет листьев

Для цепи Маркова изменения цвета листьев:

a) Определите, есть ли невозвратные состояния.

b) Найдите период цепи.

c) Является ли цепь приводимой? Если да, опишите классы.

15. Заявка в техподдержке

По матрице статусов заявки:

a) Проверьте, является ли состояние «Решена» поглощающим.

b) Определите, сообщаются ли состояния «В работе» и «На проверке».

c) Классифицируйте цепь: приводимая/неприводимая, периодичная/апериодичная, возвратная,  невозвратная. 

Задание 3.

Решить задачу своего варианта

1. Сигнал Wi‑Fi

Для заданной цепи Маркова, описывающей ежедневное качество сигнала Wi‑Fi, найдите стационарное распределение. Интерпретируйте его как долю времени, в течение которого сигнал будет находиться в каждом из четырёх состояний в долгосрочной перспективе.

2. Умный холодильник

Используя матрицу переходов для режимов работы холодильника, определите стационарное распределение. Что означает найденный вектор π для планирования энергопотребления прибора?

3. Настроение художника

На основе модели настроения художника найдите стационарное распределение. С какой вероятностью в произвольный далёкий день художник будет вдохновлён или в ярости?

4. Лиса в лесу

Для цепи Маркова, моделирующей перемещения лисы между зонами, вычислите стационарное распределение. Какова доля времени, которую лиса проведёт в норе в долгосрочном периоде?

5. Облачность

По матрице переходов между типами облачности определите стационарное распределение. Какова предельная вероятность безоблачного дня?

6. Заряд телефона

Используя модель изменения уровня заряда, найдите стационарное распределение. Какова доля дней, когда телефон будет полностью заряжен в долгосрочной перспективе?

7. Трафик на перекрёстке

Для цепи Маркова интенсивности трафика вычислите стационарное распределение. С какой вероятностью трафик будет высоким в случайный день далёкого будущего?

8. Настроение попугая

На основе модели поведения попугая определите стационарное распределение. Какова предельная вероятность того, что попугай будет молчать?

9. Игровой сервер

Используя матрицу переходов состояний сервера, найдите стационарное распределение. Какой процент времени сервер будет онлайн в долгосрочном периоде?

10. Тип осадков

Для цепи Маркова, описывающей смену типов осадков, определите стационарное распределение. Какова доля дней с туманом в долгосрочной климатической перспективе?

11. Умные часы

По модели режимов работы умных часов вычислите стационарное распределение. Какова вероятность обнаружить часы в состоянии неисправности в произвольный момент?

12. Студент перед сессией

Используя матрицу переходов для состояний студента, найдите стационарное распределение. С какой вероятностью в далёком будущем студент будет болеть?

13. Робот

Для цепи Маркова, моделирующей настроения робота, определите стационарное распределение. Какова доля времени, которую робот будет проводить в танцах в пределе?

14. Цвет листьев

На основе модели изменения цвета листьев найдите стационарное распределение. Какова предельная вероятность увидеть зелёные листья?

15. Заявка в техподдержке

Используя матрицу переходов статусов заявки, вычислите стационарное распределение. Какова доля заявок, находящихся в работе, в стационарном режиме?