![\"2020-01-28-01-00-23\"](\"https://i.ibb.co/2FtnxLg/2020-01-28-01-00-23.jpg\")
"
]
},
{
"cell_type": "markdown",
"metadata": {
"colab_type": "text",
"id": "dpwiK2cbNpYO"
},
"source": [
"Рассмотрим точки $(x_1, y_1) = (-5, 50)$ и $(x_2, y_2) \\sim (-0.8, -5)$ графика функции (см. рисунок). Отступим от них по координате $x$ на одинаковый шаг $\\Delta x > 0$, попадем на другие точки на графике. При этом величины координат $y_1$ и $y_2$ тоже поменяются на некоторые величины $\\Delta y_1$ и $\\Delta y_2$. \n",
"\n",
"Добавленные величины $\\Delta y_1$ и $\\Delta y_2$ назваются **приращениями функции**, а величина $\\Delta x$ — **приращением аргумента**"
]
},
{
"cell_type": "markdown",
"metadata": {
"colab_type": "text",
"id": "wMfQe4_wNpYP"
},
"source": [
"Заметим, что $\\Delta y_2 < \\Delta y_1$\n",
"\n",
"Рассмотрим тогда отношения $\\frac{\\Delta y_1}{\\Delta x}$ и $\\frac{\\Delta y_2}{\\Delta x}$. Можно сказать, что эти отношения являются мерилами скорости убывания функции на отрезках $[x_1, x_1 + \\Delta x]$ и $(x_2, x_2 + \\Delta x)$ соответственно. \n", "Действительно, отношение $\\frac{\\Delta y_1}{\\Delta x}$ показывает, на сколько в среднем меняется значение функции при изменении значения аргумента на 1. \n", "\n", "**Чем больше отношение $\\frac{\\Delta y_1}{\\Delta x}$ по модулю, тем выше скорость убывания/возрастания функции**." ] }, { "cell_type": "markdown", "metadata": { "colab_type": "text", "id": "66o-XoOVNpYQ" }, "source": [ "Можно привести аналогию с горами — рассмотрим график как дорогу, идущую то в гору, то с горы. Отношение $\\frac{\\Delta y_1}{\\Delta x}$, насколько сильно меняется высота дороги на каждый метр пути относительно земли. Насколько быстро растет/падает высота горы." ] }, { "cell_type": "markdown", "metadata": { "colab_type": "text", "id": "h5rUJMgfNpYR" }, "source": [ "Заметим, что в премере выше приращения $\\Delta y_1$ и $\\Delta y_2$ — отрицательные числа (функция убывает). Значит, и отношение $\\frac{\\Delta y_1}{\\Delta x} < 0$. \n", "\n", "В местах, где функция возрастает, отношение $\\frac{\\Delta y_1}{\\Delta x}$ будет положительно." ] }, { "cell_type": "markdown", "metadata": { "colab_type": "text", "id": "NaA-s8rLNpYS" }, "source": [ "**Если отношение $\\frac{\\Delta y_1}{\\Delta x} > 0$, то функция возрастает, если < 0 — убывает**." ] }, { "cell_type": "markdown", "metadata": { "colab_type": "text", "id": "Li5HGJe-NpYW" }, "source": [ "Итак, таким образом, **исследуя приращение функции при изменении аргумента в некоторой точке, можно делать выводы о возрастании/убывании функции и о скорости роста/убывания функции в окрестности этой точки**." ] }, { "cell_type": "markdown", "metadata": { "colab_type": "text", "id": "fMP0UxYrViZk" }, "source": [ "------------------------------" ] }, { "cell_type": "markdown", "metadata": { "colab_type": "text", "id": "WCVAWa_7NpYY" }, "source": [ "Теперь встает логичный вопрос: какую величину $\\Delta x$ лучше всего выбирать, чтобы лучше оценить поведение функции в области у некоторой точки $(x, y)$?\n", "\n", "Давайте рассмотрим пример, где мы выбрали величину $\\Delta x$ больше, чем в предыдущем примере:" ] }, { "cell_type": "markdown", "metadata": { "colab_type": "text", "id": "6s3gIAhPNpYc" }, "source": [ "
![\"2020-01-28-23-32-16\"](\"https://i.ibb.co/qsJFG4F/2020-01-28-23-32-16.jpg\")
"
]
},
{
"cell_type": "markdown",
"metadata": {
"colab_type": "text",
"id": "Rlk04TJ3NpYd"
},
"source": [
"Мы находились в точке $(x_2, y_2) \\sim (0.8, 5)$ и сдвинулись по координате $x$ на величину $\\Delta x' > \\Delta x$, попали в точку $(x_2 + \\Delta x', y_2 + \\Delta y'_2)$. Заметим, что $\\Delta y'_2 > 0$ и отношение $\\frac{\\Delta y'_2}{\\Delta x'} > 0$. По опыту рассуждений выше, это нам говорит о том, что на отрезке $[x_2, x_2 + \\Delta x']$ функция возрастает в среднем на $\\frac{\\Delta y'_2}{\\Delta x'}$ при изменении значения аргумента на 1. \n",
"\n",
"Но так ли это?"
]
},
{
"cell_type": "markdown",
"metadata": {
"colab_type": "text",
"id": "8eOOxeh_NpYe"
},
"source": [
"На графике мы явно видим, что в точке $(x_2, y_2)$ функция убывает, а затем возрастает и приходит в точку $(x_2 + \\Delta x', y_2 + \\Delta y'_2)$. То есть, наш вывод о том, как ведет себя график в окрестности точки $(x_2, y_2)$ , немного неточен. Отступив от точки $(x_2, y_2)$ на слишком большой шаг $\\Delta x'$, мы \"перешагнули\" через точку локального минимума функции и ошибочно решили, что в окрестности точки $(x_2, y_2)$ функция возрастает."
]
},
{
"cell_type": "markdown",
"metadata": {
"colab_type": "text",
"id": "eroFcV62NpYf"
},
"source": [
"Это как если бы вы стояли на вершине горы, потом спустились с нее, потом поднялись на другую гору такой же высоты и сказали: \"ну, моя итоговая высота изменилась на 0 метров. Значит, вся моя дорога была прямая\"."
]
},
{
"cell_type": "markdown",
"metadata": {
"colab_type": "text",
"id": "6ZMmGnroNpYg"
},
"source": [
"Значит, чтобы делать верные выводы о том, как ведет себя функция в окрестности некоторой точки, нужно брать $\\Delta x$ маленьким. Но насколько маленьким?"
]
},
{
"cell_type": "markdown",
"metadata": {
"colab_type": "text",
"id": "lYkIEU2nNpYg"
},
"source": [
"Ответ такой: бесконечно маленьким. Никакая конечная величина $\\Delta x$ не подойдет. Действительно, для любой величины $\\Delta x$ я могу найти такую функцию, что ее график будет выглядеть так:"
]
},
{
"cell_type": "markdown",
"metadata": {
"colab_type": "text",
"id": "Dz0go1TJNpYh"
},
"source": [
"![\"2020-01-29-00-13-31\"](\"https://i.ibb.co/Nm7SDrS/2020-01-29-00-13-31.jpg\")
"
]
},
{
"cell_type": "markdown",
"metadata": {
"colab_type": "text",
"id": "xozwB2CBNpYi"
},
"source": [
"То есть, мы все равно перескочем через точку локального минимума и не поймем, что функция в точке убывала, а не возрастала. "
]
},
{
"cell_type": "markdown",
"metadata": {
"colab_type": "text",
"id": "gvDmTwBgNpYi"
},
"source": [
"Ну и, напоследок, даже если на отрезке $[x, x + \\Delta x]$ нет локальных минимумов/максимумов и функция постоянно убывает/возрастает, она может возрастать/убывать с разной скоростью. Например, функция $F(x) = x^4$ на отрезке $[1, 15]$ начинает возрастать быстрее (график становится \"круче\") при приближении к $x = 15$. И делать вывод о скорости роста функции в точке 1 как о средней скорости роста функции на отрезке $[1, 15]$ не совсем корректно."
]
},
{
"cell_type": "code",
"execution_count": 0,
"metadata": {
"colab": {},
"colab_type": "code",
"id": "u1aBnWrZNpYj",
"outputId": "570846e9-f131-4b58-ed23-ee1c1b18e756"
},
"outputs": [
{
"data": {
"text/plain": [
"Text(0.5, 0, 'X')"
]
},
"execution_count": 9,
"metadata": {
"tags": []
},
"output_type": "execute_result"
},
{
"data": {
"image/png": "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\n",
"text/plain": [
"\n", "Другими словами — построим последовательность чисел, начиная с $\\Delta x > 0$, предел которой — 0.\n", "\n", "Например, мы можем взять $\\Delta x = 1$ и последовательность чисел
\n", "$$1, \\frac{1}{2}, \\frac{1}{3}, ... \\frac{1}{n}, ...$$\n", "\n", "Теперь возьмем функцию $F$ и некоторую точку этой функции $(x, y)$. Рассмотрим приращение $x + \\Delta x$ и соответствующее приращение функции $y + \\Delta y = F(x + \\Delta x)$. Будем постепенно уменьшать приращения $\\Delta x$, подставляя вместо $\\Delta x$ члены заданной выше последовательности. Получим последовательность $\\Delta y$:\n", "\n", "$$\\Delta y_1 = F(x + 1) - F(x),$$
\n", "$$\\Delta y_2 = F(x + \\frac{1}{2}) - F(x),$$
\n", "$$\\Delta y_3 = F(x + \\frac{1}{3}) - F(x),$$
\n", "$$...$$" ] }, { "cell_type": "markdown", "metadata": { "colab_type": "text", "id": "33WVP4gbNpYq" }, "source": [ "И, соответственно, получим последовательность отношений $\\frac{\\Delta y}{\\Delta x}$:\n", "\n", "$$\\frac{\\Delta y_1}{1} = \\frac{F(x + 1) - F(x)}{1},$$
\n", "$$\\frac{\\Delta y_1}{2} = \\frac{F(x + 2) - F(x)}{2},$$
\n", "$$\\frac{\\Delta y_1}{3} = \\frac{F(x + 3) - F(x)}{3},$$
\n", "$$...$$" ] }, { "cell_type": "markdown", "metadata": { "colab_type": "text", "id": "dByMGLFbNpYr" }, "source": [ "Уменьшая $\\Delta x$, мы будем отходить от точки $(x, y)$ все меньше и **отношение $\\frac{\\Delta y}{\\Delta x}$ будет все точнее отражать характер поведения функции $F$ вблизи точки $(x, y)$**\n", "\n", "Нетрудно догадаться, что итоговая величина, которая наиболее точно отразит характер поведения функции $F$ вблизи точки $(x, y)$ есть предел функции $\\frac{\\Delta y}{\\Delta x} = \\frac{F(x + \\Delta x) - F(x)}{\\Delta x}$ при $\\Delta x$ стремящемся к нулю. То есть, мы лучшим образом опишем поведение функции около точки $(x, y)$, когда мы отходим от точки $(x, y)$ на бесконечно малое расстояние.\n", "\n", "Эта величина называется **производной функции F в точке x**\n", "\n", "Записывается это так:" ] }, { "cell_type": "markdown", "metadata": { "colab_type": "text", "id": "hMHhY3fcNpYr" }, "source": [ "$$F'(x) = \\lim_{\\Delta x \\to 0} \\frac{F(x + \\Delta x) - F(x)}{\\Delta x}$$" ] }, { "cell_type": "markdown", "metadata": { "colab_type": "text", "id": "rtWxqJq7NpYs" }, "source": [ "(заметим, что последовательность $\\Delta x = 1, \\frac{1}{2}, \\frac{1}{3}, ... \\frac{1}{n}, ...$ никогда не дойдет до 0, поэтому знаменатель в формуле $F'(x)$ всегда определен)" ] }, { "cell_type": "markdown", "metadata": { "colab_type": "text", "id": "_A1yyDtlNpYs" }, "source": [ "Этот предел может существовать, а может не существовать. Если он существует, то функция $F$ называется **дифференцируемой в точке** $(x, y)$.
\n", "Если функция дифференцируема во всех точках, то функция называется просто дифференцируемой." ] }, { "cell_type": "markdown", "metadata": { "colab_type": "text", "id": "LKUi7m88NpYt" }, "source": [ "Итак, давайте подитожим:" ] }, { "cell_type": "markdown", "metadata": { "colab_type": "text", "id": "D8juT7luS_s6" }, "source": [ "## Определение производной" ] }, { "cell_type": "markdown", "metadata": { "colab_type": "text", "id": "evWoubSnY1n9" }, "source": [ "**производная функции F в точке x**\n", "$$F'(x) = \\lim_{\\Delta x \\to 0} \\frac{F(x + \\Delta x) - F(x)}{\\Delta x}$$\n", "\n", "Также говорят \"производня функции $F$ по $x$\"" ] }, { "cell_type": "markdown", "metadata": { "colab_type": "text", "id": "CfpWvjEVTChb" }, "source": [ "**производная функции в точке показывает характер изменения функции в точке**, а именно:\n", "\n", "**Модуль значения производной говорит о скорости убывания/возрастания функции**.
\n", "Если в одной точке производная функции равна 5, а в другой — 3, то в первой точке функция возрастает быстрее, чем во второй.\n", "\n", "**Знак производной показывает характер изменения функции в точке**
\n", "То есть, если производная > 0, это значит, что функция в точке возрастает. если производная < 0, это значит, что функция в точке убывает. А если производная = 0, то в этой точке находится локальный минимум/максимум.\n", "\n" ] }, { "cell_type": "markdown", "metadata": { "colab_type": "text", "id": "pwfMX1V5tCaB" }, "source": [ "> Пример #1
\n", "Рассмотрим функцию $F(x) = x^2$ и точки $(-10, -100)$, $(2, 4)$ и $(25, 625)$:" ] }, { "cell_type": "code", "execution_count": 0, "metadata": { "colab": { "base_uri": "https://localhost:8080/", "height": 296 }, "colab_type": "code", "id": "DSjkjkQ9ukA-", "outputId": "27c7d3d3-1f3b-4e9f-af14-c5d6ae703770" }, "outputs": [ { "data": { "text/plain": [ "
\n", "
\n", "Заметим, что производные в точках $x=2$ и $x=25$ положительны, а в точке $-10$ -- отрицательна. Это говорит о том, что в точках $x=2$ и $x=25$ функция возрастает, а в точке $-10$ — убывает. И это правда так — посмотрите на график.
\n", "Также заметим, что производная в точке $x=25$ по модулю больше, чем производная в точках $x=-10$ и $x=2$. Это значит, что скорость возрастания функции $F$ в точке $x=25$ выше, чем скорость возрастания в точке $x=2$ и скорость убывания в точке $x=-10$. И это тоже действительно так — см. график." ] }, { "cell_type": "markdown", "metadata": { "colab_type": "text", "id": "z2D1UMaVymhO" }, "source": [ "> Пример #2
\n", "Вычислим производную функции $F(x) = -2x - 1$ в точке $x = x_0$ по определению.
\n", "
\n", "$$F'(x_0) = \\lim_{\\Delta x \\to 0} \\frac{F(x_0 + \\Delta x) - F(x_0)}{\\Delta x} = \\lim_{\\Delta x \\to 0} \\frac{-2(x_0 + \\Delta x) - 1 + 2x_0 + 1}{\\Delta x} = \\lim_{\\Delta x \\to 0} \\frac{-2 \\Delta x}{\\Delta x} = \\lim_{\\Delta x \\to 0} -2 = -2$$\n", "
\n", "Заметим, что получившееся значение производной $-2$ не зависит от $x_0$, а значит, производная функции $F(x) = -2x - 1$ во всех точках равна $-2$.
\n", "Также здесь нам не потребовалось вычислять предел, потому что $\\Delta x$ просто сократилось =)" ] }, { "cell_type": "markdown", "metadata": { "colab_type": "text", "id": "fPHl5wbZzmDD" }, "source": [ "> Пример #3
\n", "Вычислим производную функции $F(x) = 2x^2$ в точке $x = x_0$ по определению.
\n", "
\n", "$$F'(x_0) = \\lim_{\\Delta x \\to 0} \\frac{F(x_0 + \\Delta x) - F(x_0)}{\\Delta x} = \\lim_{\\Delta x \\to 0} \\frac{2(x_0 + \\Delta x)^2 - 2x_0^2}{\\Delta x} = \\lim_{\\Delta x \\to 0} \\frac{4x_0 \\Delta x + 2\\Delta x^2}{\\Delta x} =$$\n", "
\n", "$$= \\lim_{\\Delta x \\to 0} (4x_0 + 2 \\Delta x) = \\lim_{\\Delta x \\to 0} 4x_0 + \\lim_{\\Delta x \\to 0} 2 \\Delta x = 4x_0$$\n", "
\n", "(при $\\Delta x \\to 0$ предел выражения $2 \\Delta x$ есть 0, поэтому остается только $4x_0$)
\n", "
\n", "Итак, в точке $x_0$ производная функции $F(x) = 2x^2$ равна $4x_0$\n", "
\n", "
\n", "Подставляя вместо $x_0$ числа, можем получать значения производной в точках. Например,
\n", "$F'(5) = 4*5 = 20$" ] }, { "cell_type": "markdown", "metadata": { "colab_type": "text", "id": "uYUUTvrHnPJo" }, "source": [ "**P.S.** Может быть, вы сейчас задаетесь вопросом, зачем нам нужна производная, чтобы определять возрастание/убывание/точки минимума функции, ведь мы можем нарисовать график и увидеть все, не считая никаких производных.
\n", "Подумайте о том, что сейчас мы введем производные функций многих переменных, на графики которых посмотреть не получится -- они не поменяются в трехмерное пространство =) Поэтому исследовать такие функции остается только с помощью производных." ] }, { "cell_type": "markdown", "metadata": { "colab_type": "text", "id": "ZVn2OunErh_8" }, "source": [ "## Производная как функция" ] }, { "cell_type": "markdown", "metadata": { "colab_type": "text", "id": "2wdZE2rErtuW" }, "source": [ "До сих пор мы говорили о производной в конкретной точке $x$ функции $F$. Давайте теперь допустим, что функция $F$ дифференцируема на всей своей области определения, то есть имеет производную во всех точках.\n", "\n", "Тогда можно определить производную функции $F$ как функцию от аргумента $x$:\n", "$F'(x) = \\lim_{\\Delta x \\to 0} \\frac{F(x + \\Delta x) - F(x)}{\\Delta x}$\n", "\n", "То есть, **производная функции есть тоже функция**." ] }, { "cell_type": "markdown", "metadata": { "colab_type": "text", "id": "cZH0QmRFwtWW" }, "source": [ "> Пример #4
\n", "Рассмотрим ту же функцию $F(x) = x^2$. Ее производная есть функция $F'(x) = 2x$ (как вычислять производные, мы научимся позже).
\n", "
\n", "Давайте подставиим точки, рассмотренные в предыдущем примере, в эту функцию:
\n", "$F'(-10) = 2*(-10) = -20$
\n", "$F'(2) = 2*(2) = 4$
\n", "$F'(35) = 2*(25) = 50$
\n", "
\n", "Все сходится =)" ] }, { "cell_type": "markdown", "metadata": { "colab_type": "text", "id": "4-PXT6RA1434" }, "source": [ "> Пример #5
\n", "В премере #2 мы рассмотрели функцию $F(x) = -2x - 1$ и выяснили, что ее производная во всех точках равна $-2$. Это значит, что функция производной есть:\n", "$$F'(x) = -2$$" ] }, { "cell_type": "markdown", "metadata": { "colab_type": "text", "id": "HXjgMlht2T8X" }, "source": [ "> Пример #6
\n", "В премере #3 мы рассмотрели функцию $F(x) = 2x^2$ и выяснили, что ее производная в точке $x_0$ точках равна $4x_0$. Так как точка $x_0$ произвольная, это значит, что функция производной есть:\n", "$$F'(x) = 4x$$" ] }, { "cell_type": "markdown", "metadata": { "colab_type": "text", "id": "cfbf09-INpYu" }, "source": [ "## Геометрический смысл производной" ] }, { "cell_type": "markdown", "metadata": { "colab_type": "text", "id": "6tc_4Nkw3HIU" }, "source": [ "Рассмотрим функцию $F = x^2$, точку $(x, y) = (x, F(x))$ и зададим приращение аргумента $\\Delta x$. Приращение значения функции составит $\\Delta y = F(x + \\Delta x) - F(x)$. \n", "\n", "Через две точки $(x, y)$ и $(x + \\Delta x, y+ \\Delta y)$ проведем прямую. Она называется **секущей**." ] }, { "cell_type": "markdown", "metadata": { "colab_type": "text", "id": "kc_f1-234zSJ" }, "source": [ "
![\"giphy\"](\"https://i.ibb.co/wsxHv5V/giphy.gif\")
"
]
},
{
"cell_type": "markdown",
"metadata": {
"colab_type": "text",
"id": "KcZ00swa5Pf6"
},
"source": [
"Заметим, что у нас получился прямоугольный треугольник с катетами $\\Delta y$ и $\\Delta x$. Тогда из геометрии мы получаем, что отношение приращения функции к приращению аргемента $\\frac{\\Delta y}{\\Delta x}$ есть отношение противолежащего катета этого треугольника к прилежашему, то есть, равно тангенсу угла $\\alpha$ между катетом $\\Delta x$ и гипотенузой (тангенсу угла наклона касательной):"
]
},
{
"cell_type": "markdown",
"metadata": {
"colab_type": "text",
"id": "dgVm9cNB72S9"
},
"source": [
"![\"2020-01-29-13-53-10\"](\"https://i.ibb.co/0sdQk16/2020-01-29-13-53-10.jpg\")
"
]
},
{
"cell_type": "markdown",
"metadata": {
"colab_type": "text",
"id": "OGbKihLG40_f"
},
"source": [
"Будем теперь, как и раньше, уменьшать значение $\\Delta x$. Точка $(x + \\Delta x, y+ \\Delta y)$ будет двигаться по графику к точке $(x, y)$, а вместе с ней и секущая:"
]
},
{
"cell_type": "markdown",
"metadata": {
"colab_type": "text",
"id": "8foaTEXoaBIM"
},
"source": [
""
]
},
{
"cell_type": "markdown",
"metadata": {
"colab_type": "text",
"id": "UAqY8CKq5Iw2"
},
"source": [
"Заметим, что при приближении точки $(x + \\Delta x, y+ \\Delta y)$ к точке $(x, y)$ касательная все сильнее приближается к положению **касательной** в точке $(x, y)$ и в конце концов совпадет с ней. В итоге мы получаем определение касательной:\n",
"\n",
"**Касательная к графику функции $F$ в точке $(x, y)$ — это предельное положение секщей в этой точке.**"
]
},
{
"cell_type": "markdown",
"metadata": {
"colab_type": "text",
"id": "YbTAjoQA9CTb"
},
"source": [
"Вспомним теперь про то, что $\\frac{\\Delta y}{\\Delta x}$ есть тангенс угла наклона касательной. \n", "Так как значение производной в точке $(x, y)$ есть предельное значение выражения $\\frac{\\Delta y}{\\Delta x}$, предельное положение секущей есть касательная в точке $(x, y)$, то получается, что:\n", "\n", "**Производная функции в точке (x, y) численно равна тангенсу угла наклона касательной в это точке**
\n", "(на картинке это угол $\\alpha$)\n" ] }, { "cell_type": "markdown", "metadata": { "colab_type": "text", "id": "816xKHchAg-f" }, "source": [ "
![\"2020-01-29-14-13-17\"](\"https://i.ibb.co/88kykR9/2020-01-29-14-13-17.jpg\")
"
]
},
{
"cell_type": "markdown",
"metadata": {
"colab_type": "text",
"id": "oWGJNhL7AteH"
},
"source": [
"## Пример производной из жизни"
]
},
{
"cell_type": "markdown",
"metadata": {
"colab_type": "text",
"id": "3XfJLH46AuQG"
},
"source": [
"> Пример #7 \n", "Пример из физики:
\n", "все мы помним формулу изменения координаты движущегося тела:\n", "$$F(t) = x_0 + v_{0}t + \\frac{a}{2}t^2$$\n", "где:
\n", "$x_0$ — координата тела в момент начала движения
\n", "$v_0$ — скорость тела в момент начала движения
\n", "$a$ — ускорение тела
\n", "$t$ — момент времени
\n", "
\n", "Здесь важны величины $v$ и $a$. Скорость и ускорение связаны формулой:
\n", "$v(t) = v_0 + at$
\n", "Ускорение — это производная скорости по времени. Это можно понять интуитивно: ускорение — это скорость изменения скорости тела (сравните со \"скоростью изменения координаты графика\")
\n" ] }, { "cell_type": "markdown", "metadata": { "colab_type": "text", "id": "ARkNTFDcd-Gd" }, "source": [ "> Пример #8
\n", "
\n", "Вообще практически вся физика описывается производными первого и второго порядка (производная первого порядка = производная, производная второго порядка = производная производной).
\n", "
\n", "Скорость есть производная координаты про времени
\n", "Ускорение есть производная скорости по времени
\n", "То есть, ускорение есть вторая производная координаты по времени (производная производной)
\n", "
\n", "Также производная применяется в физике, географии и даже социологии. В целом, производная оисывает скорость изменения некоторой величины.\n", "\n" ] }, { "cell_type": "markdown", "metadata": { "colab_type": "text", "id": "bKpVK2UkHVxI" }, "source": [ "# Вычисление производной" ] }, { "cell_type": "markdown", "metadata": { "colab_type": "text", "id": "zrKPFnhPT9yZ" }, "source": [ "## Элементарные функции" ] }, { "cell_type": "markdown", "metadata": { "colab_type": "text", "id": "iv9tujvKHX6G" }, "source": [ "Выше мы ввели определение производной и нашли производные нескольких функций, используя определение. В жизни (математике) бывает множество ситуаций, когда нужно находить производные довольно сложных функций. Делать это каждый раз по определению очень муторно и сложно.
\n", "Но есть хорошая новость! Этого делать и не нужно. Производные сложных функций находятся по ловольно простым правилам. Сейчас мы их рассмотрим:" ] }, { "cell_type": "markdown", "metadata": { "colab_type": "text", "id": "74Hban0hIsRF" }, "source": [ "Нам в этом поможет **таблица производных часто встречающихся функций**:" ] }, { "cell_type": "markdown", "metadata": { "colab_type": "text", "id": "22iRk9mlIhh1" }, "source": [ "" ] }, { "cell_type": "markdown", "metadata": { "colab_type": "text", "id": "gd_znTuDIz0k" }, "source": [ "В этой таблице $C$ — произвольная константа. То есть, первая формула таблицы говорит там, что производная любой константной функции есть 0." ] }, { "cell_type": "markdown", "metadata": { "colab_type": "text", "id": "yHBPML8aJZac" }, "source": [ "Теперь осталось выучить еще три правила **нахождения производной композиции функций**:\n", "Пусть у нас есть две функции $u$ и $v$." ] }, { "cell_type": "markdown", "metadata": { "colab_type": "text", "id": "nw5qIMcsJfjw" }, "source": [ "1. Производная суммы двух функций есть сумма производных этих функций (аналогично с вычитанием)\n", "$$(u + v)' = u' + v'$$\n", "\n", "2. Производная произведения двух функций:\n", "$$(u \\times v)' = u' v + u v'$$\n", "\n", "3. Производная отношения двух функций:\n", "$$\\left(\\frac{u}{v}\\right)' = \\frac{u' v - u v'}{v^2}$$\n" ] }, { "cell_type": "markdown", "metadata": { "colab_type": "text", "id": "G_dUFGpdTe2M" }, "source": [ "> Пример #9\n", "
\n", "$F(x) = 4x^3$
\n", "
\n", "Эта функция является произведением двух функций — $u(x) = 4$ и $v(x) = x^3$
\n", "
\n", "Производная константы — 0, т.е. $u'(x) = 0$.
\n", "Для $x^3$ cмотрим в таблицу. Нужная нам формула — $(x^n)' = nx^{n-1}$. Применяем ее для $n=3$. Получаем:
\n", "$v'(x) = 3x^2$.
\n", "
\n", "По правилу дифференцирования композиции функций $F'(x) = u'v + uv' = 0 * 4x^3 + 4 * 3x^2 = 12x^2$
\n", "
\n", "P.S. Вообще константы можно просто вынести за пределы дифференцирования и дифференцировать только часть функции с аргументами. То есть, формально,
\n", "$(CF(x))' = CF'(x)$.
\n", "Попробуйте убедиться в этом сами, использовав формулу производной произведения композиции функций.\n", "\n" ] }, { "cell_type": "markdown", "metadata": { "colab_type": "text", "id": "lcSI_mjtOpYk" }, "source": [ "> Пример #10
\n", "$F(x) = \\frac{4sinx}{e^x} + x^2*lnx$\n", "
\n", "
\n", "Эта функция раскладывается в сумму двух функций:
\n", "$u = \\frac{4sinx}{e^x}$
\n", "$v = x^2*lnx$
\n", "
\n", "$u$:
\n", "Эта функция есть отношение функций $4sinx$ и $e^x$. Воспользуемся формулой производной отношения функций:
\n", "$u' = \\frac{(4sinx)' *e^x - 4sinx *(e^x)'}{(e^x)^2} = <тут\\ для\\ вычисления\\ производных\\ смотрим\\ в\\ таблицу> = \\frac{4cosx *e^x - 4sinx *e^x}{e^{2x}}$
\n", "
\n", "$v$:\n", "Эта функция есть произведение двух табличных функций. Воспользуемся формулой производной произведения функций:
\n", "$v' = (x^2)' * lnx + x^2 * (lnx)' = 2x*lnx + \\frac{x^2}{x} = 2x*lnx + x$
\n", "
\n", "Итого
\n", "$F'(x) = u' + v' = \\frac{4cosx *e^x - 4sinx *e^x}{e^{2x}} + 2x*lnx + x$\n" ] }, { "cell_type": "markdown", "metadata": { "colab_type": "text", "id": "oml5Q9J4UPzd" }, "source": [ "## Производная сложной функции" ] }, { "cell_type": "markdown", "metadata": { "colab_type": "text", "id": "UYdhXv7NUT8x" }, "source": [ "Рассмотрим функцию:\n", "\n", "$$F(x) = sin(x^3)$$\n", "\n", "Эта функция не элементарная, ее производная не записана в таблице. Чтобы вычислить ее производную, нужно представить ее в виде композиции двух функций:
\n", "$u(v) = sin v$
\n", "$v(x) = x^3$
\n", "Тогда $F(x) = u(v(x))$\n", "\n", "Итого мы представляем функцию $F(x) = sin(x^3)$ как функцию не от аргумента $x$, а от аргумента $v = x^3$. Такая функция называется **сложной функцией**. Для вычисления ее производной применяется формула:\n", "\n", "$\\left( u(v(x)) \\right)' = u'(v) * v'(x)$\n", "\n", "То есть, нужно взять производную функции $u$, если ее аргумент — это $v$ (не $x$) и умножить на производную $v$ по $x$." ] }, { "cell_type": "markdown", "metadata": { "colab_type": "text", "id": "3fDiDkficLGu" }, "source": [ "> Пример #11
\n", "
\n", "Найдем производную $F(x) = sin(x^3)$:
\n", "
\n", "$u(v) = sin v$, $u'(v) = cos(v)$
\n", "$v(x) = x^3$, $v'(x) = 3x^2$
\n", "
\n", "
\n", "Итого $F'(x) = u'(v) * v'(x) = cos(x^3) * 3x^2$\n" ] }, { "cell_type": "markdown", "metadata": { "colab_type": "text", "id": "VxoJ726iRYY6" }, "source": [ "# Производная функции многих переменных" ] }, { "cell_type": "markdown", "metadata": { "colab_type": "text", "id": "Zr7L6nzabwTh" }, "source": [ "## Определение" ] }, { "cell_type": "markdown", "metadata": { "colab_type": "text", "id": "FkpkihYXeMcw" }, "source": [ "Давайте рассмотрим функцию $n$ переменных:\n", "\n", "$F(x_1, x_2, \\dots, x_n)$.\n", "\n", "В ноутбуке про функции мы говорили о том, что возрастание и убывание функций многих переменных определяется покоординатно.
\n", "Производные многих переменных тоже можно определять покоординатно, т.е. считая все аргументы, кроме того, по которому берем производную, константами. (и мы в этом курсе будем определять производную функции многих переменных только покоординатно).
\n", "Производная функции нескольких переменных по одной переменной называется **частной производной**." ] }, { "cell_type": "markdown", "metadata": { "colab_type": "text", "id": "qpZ9a0cIgIw7" }, "source": [ "> Пример #12
\n", "
\n", "$F(x_1, x_2, x_3) = x_1x_2 + x_3$
\n", "
\n", "Производная функции $F$ по переменной $x_1$:
\n", "$$F'_{x_1} = (x_1x_2 + x_3)'_{x_1} = (x_1x_2)'_{x_1} + (x'_3)_{x_1} = x_2$$\n", "
\n", "Производная функции $F$ по переменной $x_2$:
\n", "$$F'_{x_2} = (x_1x_2 + x_3)'_{x_2} = (x_1x_2)'_{x_2} + (x'_3)_{x_2} = x_1$$\n", "
\n", "Производная функции $F$ по переменной $x_3$:
\n", "$$F'_{x_3} = (x_1x_2 + x_3)'_{x_3} = (x_1x_2)'_{x_3} + (x'_3)_{x_3} = 1$$" ] }, { "cell_type": "markdown", "metadata": { "colab_type": "text", "id": "UsC28Llvhkju" }, "source": [ "Раз производная — это функция, то от нее тоже можно брать производную! Можно брать производную два раза по одной и той же переменной, а можно по разным. \n", "\n", "Обозначается вторая производная так:
\n", "$F''_{xx}$ — производная функции $F$ по $x$ и еще раз по $x$
\n", "$F''_{xy}$ — производная функции $F$ по $x$ и еще раз по $y$" ] }, { "cell_type": "markdown", "metadata": { "colab_type": "text", "id": "f-viD2uWhu0B" }, "source": [ "> Пример #13
\n", "
\n", "$F(x_1, x_2, x_3) = x_1x_2 + x_3$
\n", "
\n", "Производная функции $F$ по переменной $x_1$:
\n", "$$F'_{x_1} = (x_1x_2 + x_3)'_{x_1} = (x_1x_2)'_{x_1} + (x'_3)_{x_1} = x_2$$
\n", "
\n", "Вторая производная функции $F$ по переменной $x_1$:
\n", "$F''_{x_1x_1} = (x_2)_{x_1} = 0$\n", "
\n", "Вторая производная функции $F$ по переменной $x_2$:
\n", "$F''_{x_1x_2} = (x_2)_{x_2} = 1$\n" ] }, { "cell_type": "markdown", "metadata": { "colab_type": "text", "id": "PKrYQXSZictv" }, "source": [ "Также бывают третья, четвертая, ..., $n$-ная производные." ] }, { "cell_type": "markdown", "metadata": { "colab_type": "text", "id": "Wz-gd9oDbyPi" }, "source": [ "## Градиент" ] }, { "cell_type": "markdown", "metadata": { "colab_type": "text", "id": "BzVIxHThb7D1" }, "source": [ "**Градиент функции многих переменных** — это вектор частных производных функции." ] }, { "cell_type": "markdown", "metadata": { "colab_type": "text", "id": "6tApylr1cHgz" }, "source": [ "> Пример #14 \n", "Знакомая нам функция $F(x_1, x_2, x_3) = x_1x_2 + x_3$.
В примере #12 мы вычислили ее частные производные по всем трем переменным. Значит, градиент этой функции есть:
\n", "$$grad F = \\triangledown F = (x_2, x_1, 1)$$" ] }, { "cell_type": "markdown", "metadata": { "colab_type": "text", "id": "yj8K1BXic4-R" }, "source": [ "Градиент функции показывает, как ведет себя функция по каждой переменной. Градиент пригодится нам в ноутбуке по методам оптимизации." ] }, { "cell_type": "code", "execution_count": 0, "metadata": { "colab": {}, "colab_type": "code", "id": "wu5_4qdJH043" }, "outputs": [], "source": [] } ], "metadata": { "colab": { "collapsed_sections": [ "aFQw4P-xNpXp", "LSW3dwznNpXw", "D8juT7luS_s6", "ZVn2OunErh_8", "cfbf09-INpYu", "oWGJNhL7AteH", "zrKPFnhPT9yZ", "oml5Q9J4UPzd" ], "name": "Derivative.ipynb", "provenance": [], "toc_visible": true }, "kernelspec": { "display_name": "Python 3", "language": "python", "name": "python3" }, "language_info": { "codemirror_mode": { "name": "ipython", "version": 3 }, "file_extension": ".py", "mimetype": "text/x-python", "name": "python", "nbconvert_exporter": "python", "pygments_lexer": "ipython3", "version": "3.7.4" } }, "nbformat": 4, "nbformat_minor": 1 }