Задание к семинару 1
Выполнить первые 5 заданий и задание 10.
Задания по теме "Исследование операций: основные понятия"
Цель: Закрепить умение формализовать задачу, строить математическую модель (целевую функцию и ограничения) и интерпретировать результаты.
Задание 1: Определение основных понятий
Дайте определение следующим терминам:
1. Целевая функция
2. Переменные решения
3. Ограничения
4. Допустимое решение
5. Оптимальное решение Для каждого термина приведите краткий пример из бытовой жизни (например, поход в магазин).
Задание 2: Классификация задач
Определите, к какому типу задач ИО (Линейное программирование, Целочисленное, Сетевое планирование, Теория игр, Управление запасами, СМО) относятся следующие ситуации:
1. Выбор оптимального маршрута развозки товара по 10 городам.
2. Определение оптимального количества кассиров в банке, чтобы среднее время ожидания в очереди было не более 5 минут.
3. Разработка стратегии запуска нового продукта на рынок с учетом возможных действий конкурентов.
4. Расчет такого плана производства столов и стульев, чтобы максимизировать прибыль при ограниченных запасах древесины и трудовых ресурсов.
5. Определение момента размещения заказа на склад и его объема, чтобы минимизировать затраты на хранение и доставку.
Задание 3: Формализация простой задачи ("Задача о диете")
Составьте математическую модель для задачи: Суточный рацион должен содержать не менее 3 единиц питательного вещества А и не менее 4 единиц вещества Б.Продукт П₁ стоит 5 руб. за кг и содержит 1 ед. вещества А и 1 ед. вещества Б. Продукт П₂ стоит 8 руб. за кг и содержит 1 ед. вещества А и 2 ед. вещества Б. Определите, сколько кг каждого продукта нужно купить, чтобы обеспечить потребности в питании при минимальных затратах.
1. Введите переменные решения.
2. Запишите целевую функцию на минимизацию.
3. Запишите систему ограничений.
Задание 4: Анализ модели ("Задача о рюкзаке")
Пусть есть модель задачи о рюкзаке:
· xᵢ — количество взятых предметов типа i (может быть 0 или 1).
· Целевая функция: Z = 10x₁ + 15x₂ + 20x₃ → max (максимизация общей полезности).
· Ограничение: 5x₁ + 8x₂ + 12x₃ <= 20 (ограничение по весу рюкзака).
1. Сформулируйте словесное условие задачи, которое соответствует этой модели.
2. Является ли решение (x₁=1, x₂=1, x₃=0) допустимым? Почему?
3. Является ли решение (x₁=0, x₂=1, x₃=1) допустимым? Почему?
Задание 5: Построение ограничений ("Задача о раскрое")
На мебельной фабрике есть стандартные листы ДСП площадью 10 м². Из них вырезают заготовки двух типов: А (площадь 2 м²) и Б (площадь 3 м²). По технологическим причинам заготовок типа А должно быть изготовлено не менее 100 штук, а типа Б — не менее 150.
1. Введите переменные (подсказка: что является ресурсом, который нужно оптимально распределить?).
2. Запишите целевую функцию на минимизацию количества использованных листов ДСП.
3. Запишите ограничения на количество заготовок.
Задание 6: Графический метод
Для задачи линейного программирования с двумя переменными x и y была построена область допустимых решений — пятиугольник.
1. Где (в какой точке области) следует искать оптимальное решение, максимизирующее целевую функцию Z = ax + by?
2. Как изменится решение, если целевая функция поменяется на Z = by (коэффициент при x станет равен нулю)?
3. Что означает, если целевая функция параллельна одной из сторон области допустимых решений?
Задание 7: Интерпретация результатов
Вам предоставили готовый отчет по оптимизации плана перевозок. Решение говорит: "Оптимальный план перевозок дает общую стоимость в 75 000 руб. При этом ресурс «рабочее время водителей» используется на 100%, а ресурс «вместимость склада» — только на 65%".
1. Какое ограничение является "связывающим" (дефицитным)?
2. На сколько уменьшится общая стоимость, если мы сможем увеличить ресурс «рабочее время водителей» на 10%? (Дайте качественный ответ, не вычисляя точного числа).
3. Что вы посоветуете руководству компании на основе этого отчета?
Задание 8: Выбор инструмента
Для каждой из перечисленных ниже задач предложите наиболее подходящий метод или класс методов ИО для ее решения:
1. Составление расписания занятий в университете с учетом аудиторий, преподавателей и групп.
2. Определение оптимального места для строительства нового логистического центра, обслуживающего 50 магазинов.
3. Оценка надёжности всей электрической сети города.
4. Распределение рекламного бюджета между 5 каналами продвижения с нелинейной зависимостью эффективности от вложений.
Задание 9: Этика и ограничения моделей
Математическая модель оптимизации производственного плана дала результат: для максимизации квартальной прибыли необходимо уволить 15% сотрудников и остановить одну из производственных линий.
1. Назовите 2-3 важных фактора, которые могли быть не учтены в модели, но crucial (ключевые) для окончательного управленческого решения.
2. Почему оптимальное математическое решение не всегда является наилучшим решением в реальной жизни?
Задание 10: Творческое задание ("Создай свою задачу")
Придумайте собственную задачу из любой сферы жизни (быт, учеба, гипотетический бизнес), которая сводится к задаче линейного программирования.
1. Опишите ситуацию: (Пример: "Я собираюсь печь кексы и muffins на продажу в школе...").
2. Определите цель: что нужно максимизировать или минимизировать? (прибыль, количество, удовольствие).
3. Назовите ограниченные ресурсы: (мука, сахар, время).
4. Введите переменные решения: (что мы можем контролировать?).
5. Определите вид целевой функции и ограничений (без чисел, просто формулы с пояснениями).